Harmonijske oscilacije

Zdravko Mutin

Oscilacije

Periodično kretanje je kretanje koje se posle izvesnog vremena ponavlja.

U prirodi se srećemo sa mnogim primerima periodičnog kretanja. Počevši od periodične rotacije Zemlje oko sopstvene ose, preko revolucije Zemlje oko Sunca, pa sve do ljuljaški i klackalica po dečijim igralištima. Periodična kretanja se mogu odvijati po raznim putanjama, pri čemi su najčešće kružne i pravolinijske putanje.

Periodično kretanje koje se odvija duž prave linije nazivamo oscilacije. Telo osciluje ako se kreće duž prave linije, u oba smera naizmenično, pri čemu neprestano prolazi kroz jednu te istu tačku – ravnotežni položaj.

Osnovne veličine kojima se opisuje oscilatorno kretanje su: 

  • Ravnotežni položaj – pozicija u kojoj je zbir svih sila koje deluju na telo jednak nuli. 
  • Elongacija – bilo koja udaljenost tela od ravnotežnog položaja (X) [m] 
  • Amplituda – maksimalna udaljenost tela od ravnotežnog položaja (X0) [m]. 
  • Period oscilovanja – vreme za koje se izvrši jedna oscilacija (T) [s] 
  • Frekvencija – broj oscilacija izvršenih u toku jedne sekunde (ʋ) [1/s = Hz (herc)]. Veza između frekvencije i perioda oscilovanja je utvrđena relacijom: 

$$ \nu =\frac{1}{T} $$

Odakle se vidi da su frekvencija i period oscilovanja recipročne veličine, odnosno da porast perioda oscilovanja neminovno vodi smanjenju frekvencije oscilovanja.

Linearni harmonijski oscilator

Linearni harmonijski oscilator

Linearni harmonijski oscilator (animacija) predstavlja model linearnog oscilatornog kretanja. Izvedeno iz ravnotežnog položaja, na neku maksimalnu udaljenost (amplituda), telo se  vraća u ravnotežni položaj, pod dejsvom restitucione sile Fr (sila koja uspostavlja početni položaj). U ovom slučaju ulogu restitucione sile preuzima elastična sila opruge. Po zakonu inercije telo nastavlja da se kreće do maksimalne udaljenosti sa druge strane, nakon čega ga ista sila ponovo vraća u ravnotežni položaj. Nakon toga sledi novi ciklus identičnog kretanja.

Restituciona sila vraća telo u ravnotežni položaj i ima uvek suprotan smer od elongacije.

$$ \vec{F} = -k\cdot \vec{x} $$

Ako oblik sinusne funkcije uporedimo sa vremenskim zapisom pozicije harmonijskog oscilatora (prikazano na animaciji) primećujemo da se radi o istoj zakonitosti. Otuda harmonijske oscilacije opisujemo sinusnom (kosinusnom) funkcijom, koje se jednim imenom nazivaju harmonijske funkcije (otuda i naziv za način oscilovanja – harmonijske oscilacije).

Trenutna pozicija harmonijskog oscilatora može se iskazati izrazom:

$$\ x=x_{0} \cos (\omega t+φ)$$

gde je x0 amplituda oscilovanja, x elongacija – trenutni položaj oscilatora, dok je ω kružna učestanost (ugaona brzina) oscilatora. Kada se u izraz zamene poznate vrednosti maksimalnog dometa (amplitude), kružne učestanosti  i trenutak (vreme) za koji tražimo poziciju oscilatora, dobićemo tačnu poziciju oscilatora – elongaciju.
Oznaka φ u prethodnom izrazu označava početnu fazu, odnosno početni položaj oscilatora, iskazan u radijanima, uzimajući u obzir da jedna puna oscilacija odgovara uglu zakretanja od 2π radijana.

Period oscilovanja linearnog harmonijskog oscilatora dat je izrazom:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k} } $$

One Response

  1. […] se vrednost konstante k zameni u izraz za period oscilovanja harmonijskog oscilatora, dobijamo izraz za period oscilovanja matematičkog […]

Leave a Reply