Modeli linearnog harmonijskog oscilatora

Teg na opruzi

Teg na opruzi predstavlja model linearnog harmonijskog oscilatora. Izveden iz ravnotežnog položaja, na neku maksimalnu udaljenost (amplituda), teg se vraća u ravnotežni položaj, pod dejsvom restitucione sile Fr (sila koja uspostavlja početni položaj). U ovom slučaju ulogu restitucione sile preuzima elastična sila opruge. Po zakonu inercije telo nastavlja da se kreće do maksimalne udaljenosti sa druge strane, nakon čega ga ista sila ponovo vraća u ravnotežni položaj. Nakon toga sledi novi ciklus identičnog kretanja.

Restituciona sila vraća telo u ravnotežni položaj i ima uvek suprotan smer od elongacije.

$$ \vec{F} = -k\cdot \vec{x} $$

Harmonijske oscilacije opisujemo sinusnom (kosinusnom) funkcijom, koje se jednim imenom nazivaju harmonijske funkcije (otuda i naziv za način oscilovanja – harmonijske oscilacije).

Trenutna pozicija harmonijskog oscilatora može se iskazati izrazom:

$$\ x=x_{0} \cos (\omega t+φ)$$

gde je x0 amplituda oscilovanja, x elongacija – trenutni položaj oscilatora, dok je ω kružna učestanost (ugaona brzina) oscilatora. Kada se u izraz zamene poznate vrednosti maksimalnog dometa (amplitude), kružne učestanosti  i trenutak (vreme) za koji tražimo poziciju oscilatora, dobićemo tačnu poziciju oscilatora – elongaciju.
Oznaka φ u prethodnom izrazu označava početnu fazu, odnosno početni položaj oscilatora, iskazan u radijanima, uzimajući u obzir da jedna puna oscilacija odgovara uglu zakretanja od 2π radijana.

Period oscilovanja linearnog harmonijskog oscilatora dat je izrazom:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k} } $$

gde je u slučaju tega na opruzi k konstanta elastičnosti opruge.

Matematičko klatno

Matematičko klatno je kuglica, zanemarljivih dimenzija u odnosu na masu, okačena o neistegljivi konac. Ravnotežni položaj matematičkog klatna podrazumeva da je konac postavljen vertikalno.

Matematičko klatno

U ravnotežnom položaju težina kuglice (mg) zateže konac. Ukoliko se matematičko klatno izvede iz ravnotežnog položaja za vrednost ugla θ, težina kuglice delom zateže konac a delom pokušava da vrati kuglicu u ravnotežni položaj. Da bi odredili komponentu težine koja zateže konac, kao i onu koja vraća kuglicu u ravnotežni položaj, moramo razložiti vektor težine kuglice na dve sile. Jedna od te dve sile deluje duž pravca zategnutog konca, dok je druga normalna na taj pravac. Sila kojom kuglica zateže konac (van ravnotežnog položaja) označena je Fv, dok je komponenta težine koja vraća kuglicu u ravnotežni položaj označena Fr (restituciona sila). Primenom definicije sinusa ugla θ, kao odnosa naspramne katete i hipotenuze, dobijamo da je:

$$\sin \theta =\frac{F_{r} }{mg} \Rightarrow F_{r}=mg\sin \theta $$

Za male uglove važi da je sinus ugla brojno jednak samom uglu, odnosno:

$$\sin \theta \approx \theta $$

Otuda je:

$$F_{r}=mg\theta $$

Kako nam je iz teorije kružnog kretanja poznato da je pređeni put po kružnici (x) jednak proizvodu ugla zakretanja (θ) i poluprečnika kružnice (u ovom slučaju dužine konca l) sledi:

$$x=l\cdot \theta \Rightarrow \theta =\frac{x}{l}$$

$$\vec{F} _{r}=-mg\frac{\vec{x} }{l} $$

Znak “-” je posledica suprotnog smera restitucione sile i otklona (elongacije) x.

Iz poslednjeg izraza se vidi da konstanta k, iz izraza za restitucionu silu, u slučaju matematičkog klatna ima vrednost:

$$ k=\frac{mg}{l} $$

Kada se vrednost konstante k zameni u izraz za period oscilovanja harmonijskog oscilatora,

$$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k} } $$

dobijamo izraz za period oscilovanja matematičkog klatna:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g} } $$

Iz poslednjeg izraza se vidi da period oscilovanja matematičkog klatna ne zavisi od mase kuglice, već isključivo od dužine konca. Ukoliko izmerimo period oscilovanja matematičkog klatna T, a poznajući dužinu konca l, možemo izračunati (proveriti) vrednost gravitacionog ubrzanja Zemlje g.