Jedna od najpoznatijih posledica Specijalne teorije relativnosti jeste kontrakcija dužine. Ovaj fenomen se javlja kada telo posmatramo iz sistema koji miruje, dok se samo telo kreće velikom brzinom.
Osnovna ideja
Pretpostavimo da imamo svemirski brod sopstvene dužine $l_0$ (dužina merena u brodu, tj. u njegovom sopstvenom sistemu). Brod se kreće brzinom $v$ u odnosu na posmatrača koji miruje.
U brodu se nalazi svetlosni časovnik: svetlosni impuls putuje od detektora do ogledala i nazad. Ako merimo vreme u brodu, označićemo ga sa $t_0$. Put koji svetlost pređe u brodu je:
$ 2 l_0 = t_0 \cdot c $
gde je $c$ brzina svetlosti.
Posmatrač u mirujućem sistemu
Ako isti proces posmatra neko ko miruje u odnosu na brod, situacija izgleda drugačije:
- Kada svetlost ide ka ogledalu, brod se pomera napred, pa svetlost „juri“ za ogledalom. Put svetlosti tada zadovoljava:
$ l + v t_1 = c t_1 $
- Kada se svetlost vraća ka detektoru, detektor ide u susret svetlosti, pa važi:
$ l – v t_2 = c t_2 $
Ovde je $l$ dužina broda merena iz mirujućeg sistema. Ukupno vreme je:
$ t = t_1 + t_2 $
Iz ovih izraza, nakon sređivanja, dobijamo:
$ t = \frac{2 l}{c \left(1 – \frac{v^2}{c^2}\right)} $
Veza sa dilatacijom vremena
Znamo da je vreme u pokretnom sistemu i mirujućem povezano relacijom dilatacije vremena:
$ t = \gamma t_0, \quad \text{gde je } \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}} $
Kombinovanjem ovih izraza i sređivanjem dobijamo formulu za kontrakciju dužine:
$ l = l_0 \sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}} $
Zaključak
Ova formula pokazuje da se telo koje se kreće skraćuje duž pravca kretanja. Efekat je zanemarljiv za male brzine, ali postaje značajan kada se brzina približi brzini svetlosti. U teoriji, ako bi telo dostiglo brzinu svetlosti, njegova dužina bi se smanjila na nulu – što je, naravno, nemoguće za tela sa masom mirovanja različitom od nule.