Matematičko klatno

Matematičko klatno je kuglica, zanemarljivih dimenzija u odnosu na masu, okačena o neistegljivi konac. Ravnotežni položaj matematičkog klatna podrazumeva da je konac postavljen vertikalno.

Matematičko klatno

U ravnotežnom položaju težina kuglice (mg) zateže konac. Ukoliko se matematičko klatno izvede iz ravnotežnog položaja za vrednost ugla θ, težina kuglice delom zateže konac a delom pokušava da vrati kuglicu u ravnotežni položaj. Da bi odredili komponentu težine koja zateže konac, kao i onu koja vraća kuglicu u ravnotežni položaj, moramo razložiti vektor težine kuglice na dve sile. Jedna od te dve sile deluje duž pravca zategnutog konca, dok je druga normalna na taj pravac. Sila kojom kuglica zateže konac (van ravnotežnog položaja) označena je Fv, dok je komponenta težine koja vraća kuglicu u ravnotežni položaj označena Fr (restituciona sila). Primenom definicije sinusa ugla θ, kao odnosa naspramne katete i hipotenuze, dobijamo da je:

$$\sin \theta =\frac{F_{r} }{mg} \Rightarrow F_{r}=mg\sin \theta $$

Za male uglove važi da je sinus ugla brojno jednak samom uglu, odnosno:

$$\sin \theta \approx \theta $$

Otuda je:

$$F_{r}=mg\theta $$

Kako nam je iz teorije kružnog kretanja poznato da je pređeni put po kružnici (x) jednak proizvodu ugla zakretanja (θ) i poluprečnika kružnice (u ovom slučaju dužine konca l) sledi:

$$x=l\cdot \theta \Rightarrow \theta =\frac{x}{l}$$

$$\vec{F} _{r}=-mg\frac{\vec{x} }{l} $$

Znak “-” je posledica suprotnog smera restitucione sile i otklona (elongacije) x.

Iz poslednjeg izraza se vidi da konstanta k, iz izraza za restitucionu silu, u slučaju matematičkog klatna ima vrednost:

$$ k=\frac{mg}{l} $$

Kada se vrednost konstante k zameni u izraz za period oscilovanja harmonijskog oscilatora, dobijamo izraz za period oscilovanja matematičkog klatna:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g} } $$

Iz poslednjeg izraza se vidi da period oscilovanja matematičkog klatna ne zavisi od mase kuglice, već isključivo od dužine konca. Ukoliko izmerimo period oscilovanja matematičkog klatna T, a poznajući dužinu konca l, možemo izračunati (proveriti) vrednost gravitacionog ubrzanja Zemlje g.