Skalarni i vektorski proizvod vektora

Skalarni proizvod dva vektora za rezultat daje skalar (broj). Za primer skalarnog proizvoda ćemo uzeti mehanički rad, odnosno rad sile na putu, koji se računa kao proizvod vučne sile i pređenog puta: 

This image has an empty alt attribute; its file name is wp9d034754_06.png
Projekcija sile F na pravac kretanja (Fv)

$$A=F_{v}\cdot S $$

Međutim, ovaj izraz važi samo ako su sila i put paralelni. U opštem slučaju, kada sila deluje pod nekim uglom θ u odnosu na put, treba prvo odrediti komponentu sile koja deluje duž puta Fv.

$$F_{v}=F\cos \theta $$

Da bi izraz važio za sve odnose sile i puta, mora se napisati uopšteni oblik formule za mehanički rad:

$$A=F\cdot S\cos \theta \Rightarrow A=\vec{F} \cdot \vec{S}$$

Ovaj izraz je definicija skalarnog proizvoda dva vektora: Skalarni proizvod dva vektora je skalar čija vrednost je jednaka proizvodu intenziteta početnih vektora i kosinusa ugla između njih.

Vektorski proizvod dva vektora je novi vektor. Ovaj novi vektor ima pravac koji je normalan na oba početna vektora istovremeno, odnosno normalan je na ravan u kojoj leže početni vektori. Smer mu se određuje pravilom desne ruke (desnog zavrtnja) a intenzitet je jednak proizvodu intenziteta početnih vektora i sinusa ugla između njih:

$$\left|\vec{A} \times \vec{B} \right| =\left|\vec{A} \right| \cdot \left|\vec{B} \right| \cdot \sin \angle \left(\vec{A}\vec{B} \right) $$

Mnoge fizičke veličine, kojima se opisuje kružno i rotaciono kretanje određene su kao vektorski proizvod dva vektora: kružna brzina, kružno ubrzanje, moment sile, moment impulsa itd.