Skalar koji množi vektor menja intenzitet vektora. Skalarni proizvod dva vektora za rezultat daje skalar, dok vektorski proizvod dva vektora za rezultat daje novi vektor.
Osim slaganja i razlaganja vektora, sa vektorskim veličinama se mogu obavljati i operacije množenja. Međutim, tih operacija ima nekoliko. Vektor je najlakše pomnožiti brojem (skalarom) jer se tom prilikom njegovi pravac i smer ne menjaju, već se samo dužina vektora (intenzitet) poveća taj broj puta.
Skalarni proizvod vektora
Skalarni proizvod dva vektora je računska operacija koju možemo izvesti sa dva vektora, tako da za rezultat dobijemo skalar (broj). U fizici postoje veličine koje zavise od dva vektora, a za rezultat daju običan broj (skalar). Međutim, taj rezultat, osim što zavisi od intenziteta početnih vektora, zavisi i od njihovog međusobnog ugla. Zavisnost rezultata od ugla između vektora je obuhvaćena matematičkom operacijom skalarnog proizvoda dva vektora. Za primer ćemo uzeti mehanički rad, odnosno rad sile na putu, koji zavisi od proizvoda vučne sile i pređenog puta:
$$A=F_{v}\cdot S $$
Međutim, ovaj izraz važi samo ako su sila i put paralelni. U opštem slučaju, kada sila deluje pod nekim uglom θ u odnosu na put, treba prvo odrediti komponentu sile koja deluje duž puta Fv, pa na nju primeniti formulu za rad.
$$F_{v}=F\cos \theta $$
Kada ovako izraženu vučnu silu ubacimo u izraz za mehanički rad, dobijamo da je:
$$A=F\cdot S\cdot \cos (\theta )$$
Ovaj izraz je istovremeno i definicija skalarnog proizvoda dva vektora:
Skalarni proizvod dva vektora je skalar čija vrednost je jednaka proizvodu intenziteta početnih vektora i kosinusa ugla između njih.
$$\vec{A}\cdot \vec{B} =A\cdot B\cdot \cos(\theta )$$
Skalarni proizvod dva vektora se obeležava tačkom između vektora koji se množe.
Vektorski proizvod dva vektora
Vektorski proizvod dva vektora je novi vektor. Ovaj novi vektor ima pravac koji je normalan na oba početna vektora istovremeno, odnosno normalan je na ravan u kojoj leže početni vektori. Smer mu se određuje pravilom desne ruke (desnog zavrtnja). Intenzitet vektorskog proizvoda i dalje zavisi od ugla između početnih vektora, ali malo drugačije. Ovoga puta, intenzitet rezultujućeg vektora je maksimalan kada je ugao između polaznih vektora 900. Takva zavisnost se poklapa sa zavisnošću sinusa ugla od veličine ugla, pa je trigonometrijska funkcija sinusa iskorišćena za definisanje intenziteta vektorskog proizvoda dva vektora:
$$\left|\vec{A}\times \vec{B}\right| =A\cdot B\cdot \sin(\theta )$$
Vektorski proizvod se označava krstićem.
$$\vec{A} \times \vec{B}$$
Mnoge fizičke veličine, kojima se opisuje kružno i rotaciono kretanje određene su kao vektorski proizvod dva vektora: kružna brzina, kružno ubrzanje, moment sile, moment impulsa itd.