Linearni harmonijski oscilator je svaki sistem u kojem se telo mase $m$ kreće pod dejstvom promenljive sile oko ravnotežnog položaja.
Ta sila:
- raste sa udaljenošću tela od ravnotežnog položaja,
- uvek ima smer ka ravnotežnom položaju.
Naziva se restituciona sila.
Elongacija i zakon oscilovanja
Udaljenost od ravnotežnog položaja naziva se elongacija i menja se po kosinusnom zakonu:
$x = A \cdot \cos(\omega t + \varphi)$
gde je:
- $A$ – amplituda (maksimalna udaljenost od ravnotežnog položaja),
- $\omega$ – kružna učestanost ($\omega = 2\pi \nu$),
- $\nu$ – frekvencija oscilovanja,
- $\varphi$ – početna faza (izražena u radijanima).
Brzina oscilatora
Brzina je najveća kada telo prolazi kroz ravnotežni položaj, a data je izrazom:
$v = -A \omega \cdot \sin(\omega t + \varphi)$
Znak minus znači da brzina kasni za elongacijom za četvrtinu perioda ($\pi/2$ radijana).
Ubrzanje oscilatora
Ubrzanje ima smer isti kao restituciona sila (suprotan elongaciji):
$a = -A \omega^2 \cdot \cos(\omega t + \varphi)$
Ako zamenimo $x$ iz prve jednačine, dobijamo:
$a = -\omega^2 \cdot x$
Ovo su jednačine kretanja harmonijskog oscilatora:
- položaj: $x = A \cos(\omega t + \varphi)$
- brzina: $v = -A \omega \sin(\omega t + \varphi)$
- ubrzanje: $a = -\omega^2 x$
Model: Teg na opruzi
Teg mase $m$ okačen za oprugu je tipičan harmonijski oscilator.
Po Hukovom zakonu, sila opruge je:
$F = -k \cdot x$
gde je $k$ konstanta elastičnosti opruge.
Primena II Njutnovog zakona:
$m \cdot a = -k \cdot x$
odakle:
$a = -\dfrac{k}{m} \cdot x$
Poređenjem sa $a = -\omega^2 x$ dobijamo:
$\omega^2 = \dfrac{k}{m}$
Period oscilovanja
Znamo da je:
$\omega = 2\pi \nu$ i $\nu = \dfrac{1}{T}$
pa:
$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$
Zamenom u $\omega^2 = \dfrac{k}{m}$:
$\dfrac{4\pi^2}{T^2} = \dfrac{k}{m}$
odakle:
$T = 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}$
Zaključci
- Veća masa $m$ → duži period oscilovanja.
- Veća konstanta elastičnosti $k$ → kraći period oscilovanja.
Ključne formule
$x = A \cos(\omega t + \varphi)$
$v = -A \omega \sin(\omega t + \varphi)$
$a = -\omega^2 x$
$\omega^2 = \dfrac{k}{m}$
$T = 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}$