1. Uvod
Gasovi se sastoje od ogromnog broja molekula koji se haotično kreću i sudaraju, razmenjujući kinetičku energiju. Praćenje kretanja svakog molekula pomoću Njutnovih zakona je nemoguće, pa se uvode dva pristupa:
- Makroskopski – merenje veličina koje možemo meriti (P, V, T) i uspostavljanje odnosa između njih.
- Mikroskopski – statistička fizika (Maxwell-Boltzmannova teorija).
Oba pristupa moraju dati isti rezultat.
2. Pretpostavke idealnog gasa
- Molekuli imaju zanemarljive dimenzije.
- Sudari su idealno elastični (nema gubitka energije).
- Gas se naziva idealni gas.
Makroskopske veličine:
- P – pritisak,
- V – zapremina,
- T – temperatura (u Kelvinima).
3. Jednačina idealnog gasnog stanja
Eksperimentalno je dobijena empirijska formula:
$ P \cdot V = nRT $
gde je:
- $n$ – broj molova,
- $R = 8.3145 , \text{J·mol}^{-1}\text{·K}^{-1} $ – univerzalna gasna konstanta.
4. Pojam mola i Avogadrov broj
- Ukupan broj molekula: $N$.
- Avogadrov broj: $N_A = 6.022 \cdot 10^{23} $.
- Broj molova:
$ n = \frac{N}{N_A} $
5. Molekulsko-kinetička teorija
Maxwell i Boltzmann su pokazali da se molekuli raspoređuju po brzinama na datoj temperaturi. Umesto praćenja svakog molekula, određuje se raspodela brzina.
Srednja kinetička energija jednog molekula:
$ \overline{E_k} = \frac{3}{2} k T $
gde je:
- $ k = 1.38 \cdot 10^{-23} , \text{J·K}^{-1} $ – Boltzmannova konstanta.
Veza između $k$ i $R $:
$ k = \frac{R}{N_A} $
6. Izvođenje jednačine iz kinetičke teorije
Za jedan molekul u cilindru:
- Promena impulsa pri sudaru:
$ \Delta p = 2p $ - Vreme između sudara:
$ \Delta t = \frac{2l}{v} $ - Sila:
$ F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2p}{2l/v} = \frac{pv}{l} $
Pošto je ( p = mv ), sledi:
$ F = \frac{m v^2}{l} $
Pritisak:
$ P = \frac{F}{S} \implies P \cdot S = \frac{m v^2}{l} $
Zapremina ( V = S \cdot l ), pa:
$ P \cdot V = m v^2 $
Kinetička energija:
$ E_k = \frac{1}{2} m v^2 \implies P \cdot V = 2 E_k $
Zamenom Maxwell-Boltzmannovog izraza:
$ P \cdot V = 3kT $
Za ( N ) molekula:
$ P \cdot V = N k T $
Ako izrazimo preko molova:
$ P \cdot V = nRT $
7. Zaključak
Jednačina idealnog gasa:
$ P \cdot V = nRT $
ima svoje poreklo u molekulsko-kinetičkoj teoriji. Ona povezuje makroskopske veličine (P, V, T) sa mikroskopskim svojstvima molekula.