Prva kosmička brzina je brzina koju treba saopštiti nekom telu da bi se ono kretalo oko Zemlje u orbiti čiji je poluprečnik jednak poluprečniku Zemlje.
Brzina koja pobeđuje gravitaciju
Video čas
Prilikom kružnog kretanja centripetalna sila je uravnotežena sa centrifugalnom silom. U ovom slučaju ulogu centripetalne sile ima težina tela, te sledi da je:
$$\ m\cdot g=m\frac{v_{1}^{2} }{R} $$
odnosno
$$\ v_{1}=\sqrt{g\cdot R} \approx 7,9\> {km}/{s} $$
što predstavlja konačni izraz za prvu kosmičku brzinu.
Druga kosmička brzina je brzina koju mora dobiti telo na površini zemlje da bi u potpunosti napustilo gravitaciono polje Zemlje.
Gravitaciono polje opada sa kvadratom udaljenosti, ali teorijski postaje jednako nuli tek kada udaljenost postane beskonačna. U praksi znamo da na nekoj konačnoj udaljenosti od Zemlje njena gravitaciona privlačnost postaje zanemarljiva. Ali na kojoj udaljenosti?
Pođimo obrnutim postupkom i uočimo telo na gotovo beskonačnoj udaljenost od Zemlje, čija je kinetička energija jednaka nuli. Neka je to telo uhvaćeno beskonačno slabim gravitacionim delovanjem Zemlje počelo polako da se kreće ka Zemlji. Njegova kinetička energija će se vremonom povećavati, jer će se sve brže kretati. Istovremeno telo će sve dublje upadati u gravitacionu potencijalnu jamu Zemlje. U trenutku neposredno pre udara o površinu Zemlje kinetička energija tela biće maksimalna, dok će potencijalna jama imati najveću dubinu. Pošto je za vađenje tela iz potencijalne jame neophodno uložiti rad, potencijalna energija tela ima negativan predznak. Kako je ukupna energija tela pre nego što ga je zahvatilo gravitaciono delovanje Zemlje bila jednaka nuli, u trenutku neposredno pre udara o tle, ukupna energija je još uvek jednaka nuli, odnosno:
$$\ E_{k}-E_{p} =0 $$
gde prvi član predstavlja kinetičku energiju koju je telo steklo, dok je drugi član potencijalna energija, odnosno dubina potencijalne jame u kojoj se telo nalazi. Odavde sledi da je:
$$ \frac{mv^{2} }{2} -mgR =0 $$
Gde je R visina na kojoj se telo nalazi, odnosno udaljenost od centra Zemlje. Nakon skraćivanja oba člana sa m i prebacivanja gR na drugu stranu znaka jednakosti sledi:
$$\frac{v^{2} }{2} =gR $$
Odakle je:
$$\ v=\sqrt{2gR } $$
Što omogućuje a se druga kosmička brzina izrazi preko prve kosmičke brzine izrazom:
$$\ v =\sqrt{2}\cdot v_{1} \approx 11,2\> {km}/{s}$$